Гомотопия

Два непрерывных отображения $f, g : X \rightarrow Y$ называются гомотопными, если они могут быть непрерывно продеформированы друг в друга, то есть если существует такое семейство непрерывных отображений $f_{t} : X \rightarrow Y$, непрерывно зависящих от параметра $t \in [0, 1]$, что $f_{0} = f$ и $f_{1} = g$ (непрерывная зависимость от $t$ означает, что формула $F (x, t) = f_{t} (x), x \in X, t \in [0, 1]$ определяет непрерывное отображение $F : X \times [0, 1] \rightarrow Y$; это отображение, а также семейство $\{f_{t}\}$ называют гомотопией, связывающей $f$ с $g$). Совокупность всех непрерывных отображений $X \rightarrow Y$ распадается на гомотопические классы гомотопных между собой отображений. Множество гомотопических классов непрерывных отображений из $X$ в $Y$ обозначается символом $[X, Y]$. Изучение свойств отношения гомотопности и, в частности, множеств $[X, Y]$ составляет предмет так называемой гомотопической топологии (или теории гомотопий). Для большинства интересных топологических пространств множества $[X, Y]$ конечны или счётны и могут быть в явном виде эффективно вычислены. Топологические пространства $X$ и $Y$ называются гомотопически эквивалентными, или имеющими один и тот же гомотопический тип, если существуют такие непрерывные отображения $f : X \rightarrow Y$ и $g : Y \rightarrow X$, что непрерывные отображения $g \times f : X \rightarrow X$ и $f \times g : Y \rightarrow Y$ гомотопны соответствующим тождественным отображениям. В гомотопической топологии такие пространства следует рассматривать как одинаковые (все их «гомотопические инварианты» совпадают).

Оказывается, что во многих случаях (в частности, для клеточных пространств) разрешимость задачи распространения зависит только от гомотопического класса непрерывного отображения $f : A \rightarrow Y$; точнее, если для $f$ распространение $g : X \rightarrow Y$ существует, то для любой гомотопии $f_{t} : A \rightarrow Y$ (с $f_{0} = f$) существует распространение $g_{t} : X \rightarrow Y$ такое, что $g_{0} = g$. Поэтому вместо $f$ можно рассматривать его гомотопический класс $[f]$ и в соответствии с этим изучать лишь гомотопически инвариантные функторы (кофункторы) $h$, то есть такие, что $h (f_{0}) = h (f_{1})$, если отображения $f_{0}$ и $f_{1}$ гомотопны. Это приводит к настолько тесному переплетению алгебраической и гомотопической топологии, что их можно рассматривать как единую дисциплину.

Для любого топологического пространства $Y$ формулы $h (X) = [X, Y]$ и $h (f) = [j \circ f]$, где $f : X_{1} \rightarrow X_{2}$ и $j : X_{2} \rightarrow Y$, определяют некоторый гомотопически инвариантный кофунктор $h$, о котором говорят, что он представлен топологическим пространством $Y$. Это — стандартный (и по существу единственный) приём построения гомотопических инвариантных кофункторов. Чтобы множество $h (X)$ оказалось, скажем, группой, нужно $Y$ выбрать соответствующим образом, например потребовать, чтобы оно было топологической группой (вообще говоря, это не совсем так: необходимо выбрать в $X$ некоторую точку $x_{0}$ и рассматривать лишь непрерывные отображения и гомотопии, переводящие $x_{0}$ в единицу группы; это техническое усложнение будет, однако, в дальнейшем игнорироваться). Более того, достаточно, чтобы $Y$ было топологической группой «в гомотопическом смысле», то есть чтобы аксиомы ассоциативности и существования обратного элемента (утверждающие фактически совпадение некоторых отображений) выполнялись бы только «с точностью до гомотопии». Такие топологические пространства называются $H$-пространствами. Таким образом, каждое $H$-пространство $Y$ задаёт гомотопически инвариантный кофунктор $h (X) = [X, Y]$, значениями которого являются группы.