Мера множества

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ме́ра — общее название различных типов обобщений понятий евклидовой длины, площади и n n -мерного объёма для более общих пространств. Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно-аддитивная мера.

Определения[править | править код]

Конечно-аддитивная мера[править | править код]

Пусть задано пространство X X с выделенным классом подмножеств F \mathcal{F} , замкнутым относительно конечных пересечений и объединений.

Функция μ : F [ 0 , ] \mu:\mathcal{F}\to[0,\;\infty] называется конечно-аддитивной мерой (иногда объёмом), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. μ ( ) = 0 \mu(\varnothing)=0 .
  2. Если { E n } n = 1 N F \{E_n\}_{n=1}^N\subset\mathcal{F} конечное семейство попарно непересекающихся множеств из F \mathcal{F} , то есть E i E j = , i j E_i\cap E_j=\varnothing,\;i\neq j , то

μ ( n = 1 N E n ) = n = 1 N μ ( E n ) . \mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^N E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^N\mu(E_n).

Альтернативное определение[править | править код]

Система множеств σ \sigma называется полукольцом, если она содержит пустое множество, замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что из принадлежности к σ \sigma множества A A и A 1 A A_1\subset A вытекает возможность представления множества A A в виде объединения A = k = 1 n A k A=\bigcup_{k=1}^n A_k , где A k A_k — попарно непересекающиеся множества из σ \sigma , первое из которых есть заданное множество A 1 A_1 .

Функция множества μ ( A ) \mu(A) называется мерой, если:

  • область определения σ μ \sigma_\mu функции μ ( A ) \mu(A) есть полукольцо множеств;
  • значения μ ( A ) 0 \mu(A)\geqslant 0 ;
  • μ ( A ) \mu(A) — аддитивна, то есть для любого конечного разложения A = A 1 A 2 A n A=A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n , A i A j = A_i\cap A_j=\varnothing будет выполнено μ ( A ) = k = 1 n μ ( A k ) \mu(A)=\sum_{k=1}^n\mu(A_k) .

Счётно-аддитивная мера[править | править код]

Пусть задано пространство X X с выделенной σ \sigma -алгеброй F \mathcal{F} .

Функция μ : F [ 0 , ] \mu:\mathcal{F}\to[0,\;\infty] называется счётно-аддитивной (или σ \sigma -аддитивной) мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. μ ( ) = 0. \mu(\varnothing)=0.
  2. ( σ \sigma -аддитивность) Если { E n } n = 1 F \{E_n\}_{n=1}^\infty\subset\mathcal{F} счётное семейство попарно непересекающихся множеств из F \mathcal{F} , то есть E i E j = , i j E_i\cap E_j=\varnothing,\;i\neq j , то

μ ( n = 1 E n ) = n = 1 μ ( E n ) . \mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\mu(E_n).

Замечания[править | править код]

  • Очевидно, любая счётно-аддитивная мера является конечно-аддитивной, но не наоборот.
  • Если мера всего пространства конечна, то есть μ ( X ) \mu(X) , то такая мера сама по себе называется конечной. В противном случае мера бесконечна.
  • На прямой и двумерной плоскости существует бесконечное число расширений лебеговой меры с σ \sigma -алгебры, порождаемой открытыми множествами, на множество всех подмножеств, сохраняющее конечную аддитивность меры. Ни для одного из нетривиальных евклидовых пространств не существует какого-либо счётно-аддитивного расширения лебеговой меры на множество всех его подмножеств.

Связанные определения[править | править код]

Примеры[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Вулих, Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). — М.: Наука, 1973. — 352 с.о книге

hu:Mérték (matematika)